Элементарные преобразования матриц, эквивалентность
Преобразования 1 рода
Определение
Преобразованием 1 рода называют умножение какой либо строки матрицы на число \(\lambda\), не равное нулю
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21}\times \lambda & a_{22}\times \lambda & a_{23}\times \lambda \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix}
\]
Преобразования 2 рода
Определение
Преобразованием 2 рода называют операцию при которой к одной строке (или столбцу) матрицы прибавляется другая строка (или столбец), умноженная на некоторое число \(\lambda\). Остальные строки при этом не меняются
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix} \\
\sim \\
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} + a_{11} \times \lambda & a_{22} + a_{12} \times \lambda & a_{23} + a_{13} \times \lambda \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix}
\]
Преобразования 3 рода
Определение
Преобразованием 3 рода называют перестановку 2-х строк матрицы местами
\[
\begin{pmatrix}
\textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{red}{a_{12}} & \textcolor{red}{a_{13}} \\
\textcolor{blue}{a_{21}} & \textcolor{blue}{a_{22}} & \textcolor{blue}{a_{23}} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
\textcolor{blue}{a_{21}} & \textcolor{blue}{a_{22}} & \textcolor{blue}{a_{23}} \\
\textcolor{red}{a_{11}} & \textcolor{red}{a_{12}} & \textcolor{red}{a_{13}} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix}
\]
Эквивалентность
Определение
Матрицы с одинаковыми порядками называются эквивалентными, если из одной матрицы можно получить вторую путём цепочки элементарных преобразований