3. Инъекция, сюръекция, биекция

Учтем условие: пусть \(f:X \rightarrow Y\). Тогда дадим определения инъекции, сюръекции и биекции

Инъекции

Определение 3.1

Функция \(f\) называется инъекцией, когда выполнимо хотя бы одно из следующих условий:

\[ \begin{aligned} \forall x_1 & ,x_2 \in X:f(x_1) = f(x_2) \\ x_1 & = x_2 \quad ИЛИ \quad \forall x_1,x_2 \in X:f(x_1) \neq f(x_2) \Rightarrow x_1 \neq x_2 \end{aligned} \]

То есть одному значению \(x\) соответствует либо одно значение \(y\), либо никакое

Пример

\(y = \frac{1}{x}\) Данная функция является инъекцией, так как каждому значению \(х\) соответствует либо свой \(y\), либо никакое из значений \(y\) (при \(х = 0\))

Сюръекция

Определение 3.2

Функция \(f\) называется сюръекцией, если выполнено следующее условие: $$ y = f(x) \rightarrow \forall y \in Y: \exists x \in X: y=f(x) $$ То есть все значения у заняты, а одному значению у может соответствовать два и более значения х

Пример

\(y = x2;y \in [0;+\infty)\). В данном случае одному значению у может соответствовать один или два значения х. Все значения \(y\) заняты

Биекция

Определение 3.3

Функция \(y\) называется биекцией, если эта функция одновременно является и инъекцией, и сюръекцией: то есть одному значению х соответствует свой единственный \(y\)

Пример

\(y = x\). Функция линейная, т. е. одному значению х соответствует единственное значение \(y\)

Свойства биекции

1. Если \(f:X \rightarrow Y\) − биекция \(\Rightarrow f^{−1}:Y \rightarrow X\)− биекция
2. Если \(f:X \rightarrow Y,g:Y \rightarrow Z\) − биекции, то суперпозиция \(g(f(x)):X \rightarrow Z\) также будет биекцией

Комментарии