Перейти к содержанию

1. Основные понятия

1.1. Понятие множества

Определение

Множество - это совокупность определённых и различных объектов, объединённых по какому-либо общему признаку и рассматриваемых как единое целое. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами.

Важные уточнения

  1. Определённость: Для любого объекта должно быть строго известно, принадлежит он множеству или нет.
  2. Различимость: Все элементы множества должны быть различны (в множестве не может быть двух одинаковых элементов).
  3. Порядок не важен: Множества \(\{1, 2, 3\}\) и \(\{3, 1, 2\}\) считаются абсолютно одинаковыми.

Природа элементов множества

Важно

Элементами множества могут быть любые объекты: числа, функции, геометрические фигуры, другие множества, люди, города - что угодно! Теория множеств работает с любой природой элементов.

Примеры множеств с разной природой элементов

Числовые множества:

  • \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) - множество натуральных чисел
  • \(B = \{x \in \mathbb{R} : x^2 = 4\} = \{-2, 2\}\) - множество корней уравнения

Множества функций:

  • \(F = \{f(x) : f(x) = x^n, n \in \mathbb{N}\}\) - множество степенных функций
  • \(\{sin(x), cos(x), tg(x)\}\) - множество тригонометрических функций

Множества геометрических объектов:

  • \(T = \{\text{все треугольники на плоскости}\}\)

  • \(C_r = \{(x,y) : x^2 + y^2 = r^2\}\) - множество точек окружности радиуса \(r\)

Множества множеств: - \(S = \{\{1,2\}, \{3,4\}, \{5,6\}\}\) - множество, элементами которого являются другие множества

Обозначения

  • Сами множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита: \(A, B, C, X, Y, \ldots\)
  • Элементы множеств обозначают строчными буквами: \(a, b, c, x, y, \ldots\)

Принадлежность элемента множеству

Запись Значение Чтение
\(a \in A\) элемент \(a\) принадлежит множеству \(A\) \(a\) принадлежит \(A\)
\(a \notin A\) элемент \(a\) не принадлежит множеству \(A\) \(a\) не принадлежит \(A\)

Пример

Если \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\), то:

  • \(3 \in A\) (верно, так как 3 есть в множестве)
  • \(7 \notin A\) (верно, так как 7 отсутствует в множестве)

Если \(F = \{sin(x), cos(x), tg(x)\}\), то:

  • \(sin(x) \in F\) (верно)
  • \(ctg(x) \notin F\) (верно, котангенс не входит в это множество)

1.2. Описания Множества

1. Множество состоит из конечного числа элементов

Используется для конечных множеств с небольшим числом элементов.

\[A = \{x_1, x_2, x_3\}\]

Примеры

  • \(A = \{1, 2, 3\}\)
  • \(A = \{5\}\)
  • \(B = \{a, b, c, d\}\)

2. Множество содержит бесконечное количество элементов и их можно перенумеровать

Применяется для бесконечных, но счётных множеств, элементы которых можно перенумеровать.

\[A = \{x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots\} = \{x_n\}_{n=1}^{\infty}\]

Примеры

  • Натуральные числа: \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}\)
  • Чётные числа: \(\{2, 4, 6, 8, \ldots\}\)

3. Множество задаётся с помощью некоторого условия

Множество задаётся через характеристическое свойство \(P(x)\), которому удовлетворяют все его элементы.

\[A = \{x : P(x)\}\]

где \(P(x)\) - некоторое свойство (предикат), которым обладают элементы множества.

Примеры

  • Чётные числа: \(A = \{x : x = 2n, \; n \in \mathbb{N}\}\)
  • Положительные вещественные числа: \(B = \{x \in \mathbb{R} : x > 0\}\)
  • Корни уравнения: \(C = \{x \in \mathbb{R} : x^2 - 5x + 6 = 0\} = \{2, 3\}\)

1.3. Стандартные обозначения числовых множеств

Основные числовые множества

Обозначение Множество Примеры элементов
\(\varnothing\) Пустое множество (не содержит элементов) -
\(\mathbb{N}\) Натуральные числа \(1, 2, 3, 4, \ldots\)
\(\mathbb{Z}\) Целые числа \(\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\)
\(\mathbb{Q}\) Рациональные числа \(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, 0, 5\)
\(\mathbb{R}\) Вещественные (действительные) числа \(\pi, \sqrt{2}, -3.14, 0\)
\(\mathbb{C}\) Комплексные числа \(3 + 2i, -1 - i, 5\)

1.4. Равенство множеств и подмножества

Равенство множеств

Определение

Множества \(A\) и \(B\) равны (\(A = B\)), если они состоят из одинаковых элементов.

\[A = B \iff (x \in A \Leftrightarrow x \in B)\]

где \(\Leftrightarrow\) означает «тогда и только тогда» (эквивалентность).

Пример

  • \(\{1, 2, 3\} = \{3, 1, 2\}\) (порядок не важен)
  • \(\{1, 1, 2, 3\} = \{1, 2, 3\}\) (повторы игнорируются)

Подмножество

Определение

Множество \(A\) называется подмножеством множества \(B\) (обозначается \(A \subset B\)), если все элементы множества \(A\) являются также элементами множества \(B\).

\[A \subseteq B \iff (x \in A \Rightarrow x \in B)\]

где \(\Rightarrow\) означает «если ..., то ...» (следование).

Примеры

  • \(\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\}\)
  • \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\) (натуральные числа - подмножество целых)
  • \(A \subset A\) (любое множество является подмножеством самого себя)
  • \(\varnothing \subset A\) (пустое множество - подмножество любого множества)

Собственное подмножество

Если \(A \subset B\) и \(A \neq B\), то \(A\) называется собственным подмножеством \(B\) (обозначается \(A \subset B\)).

Комментарии