1. Множества, операции над множествами, их свойства
Определение 1.1
Множество – совокупность различающихся между собой объектов, которые называются элементами данного множества.
Определение 1.2
Пусть А и В – множества. \(A \subset B\), если \(\forall\space x\space (x \in A \Rightarrow x \in B)\) (Читается так: при любом значении х выполняется условие: если х принадлежит А, тогда х принадлежит В).
Определение 1.3
Множества А и В равны \((A = B)\), если \(A \subset B \space и\space B \subset A\), то есть \(A = B \Leftrightarrow \forall \space x \space (x \in A \Leftrightarrow x \in B)\)
Операции над множествами
\(A \cup B\) - Объединение, элементы которого являются хотя бы одного из множеств А или В (\(x \in A\) и/или \(x \in B\)) \(A \cap B\) - Пересечение, элементы которого одновременно являются и А, и В А\B - Разность, элементы которого входят в А, но не входят в В
Основные свойства
\(1. \space (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)\)
Доказательство
\(2. \space (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)\)
\(3. \space \overline{A\cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}\)
Доказательство
\(4. \overline{A\cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}\)