2. Функции, образы и прообразы, их свойства
Определение 2.1
Прямым произведением множеств X и Y называют множество всех упорядоченных пар (x;y) $$ X \times Y = {(x;y): x \in X, y \in Y} $$
Определение 2.2
Если выделить множество \(D \subset X \times Y: \forall \space x \in X \space \exists! \space(x;y) \in D\), то говорят, что на множестве X задана функция со значениями Y $$ y = f(x) \Leftrightarrow f:X \rightarrow Y $$
Для определений, данных выше, введем некоторые условия: Пусть \(f:X \rightarrow Y, E \subset X, F \subset Y\)
Определение 2.3
Образом E при отображении функции называют подмножество в Y, которое задается $$ f(E) = {y \in Y: \space \exists \space x \in X; y = f(x)} $$
Определение 2.4
Прообразом F при отображении функции называют подмножество в X, которое задается $$ f^{-1}(F) = {x \in X: f(x) \in F} $$
Основные свойства для образов функций
Пусть \(f:X \rightarrow Y; A,B \subset X\), тогда выполнимы следующие свойства