КР. 1

Вариант 1

1. Найти \(A \cup B\)

\[ A = \{4,5,6\}, B = \{2,4,6\} \]

Решение

В данном задании нам необходиммо найти объединение множеств, то есть результатом будет множество всех элементов этих множеств

\[ A \cup B = \{2,4,5,6\} \]

2. Найти предел

\[ \lim_{n \to \infty}{\frac{3(n+4)^6}{5n^6 - 3n^3 + 2n^2 + 15}} \]

Решение

При подстановке \(\infty\) в выражение мы получаем данный результат

\[ \frac{\infty}{\infty} \]

Мы получили неопределённость, а нам нужно конкретное число. Для решения данной проблемы нам необходимо разделить и числитель и знаменатель на старшую степень \(n\)

В числителе у нас \(3(n+4)^6\), По хорошему нужно раскрыть вё по биному Ньютона, но нам достаточно знать старшую степнь \(n\), а тут в целом всё достаточно очевидно, при раскрытии мы получим макисмум \(n^6\). В знаменателе ещё проще, там ничего раскрывать не нужно и сразу видно что там тоже максимум это \(n^6\)

Теперь нам нужно разделить числитель и знаменатель на эту старшую степень n(\(n^6\)). Начнём с числителя:

\[ \frac{3(n+4)^6}{n^6} = 3 \times \frac{(n+4)^6}{n^6} = 3 \times \left( \frac{n+4}{n} \right)^6 \]

так как в результате есть дробь где и в числителе и в знаменателе есть \(n\) нам нужно и это исправить, т.к. при подстановке мы снова получим неопредённость

\[ 3 \times \left( \frac{n+4}{n} \right)^6 = 3 \times \left( \frac{n}{n} + \frac{4}{n} \right)^6 = 3 \times \left( 1 + \frac{4}{n} \right)^6 \]

Теперь переходим в знаменатель, там также делим на \(n^6\)

\[ \frac{5n^6}{n^6} - \frac{3n^3}{n^6} + \frac{2n^2}{n^6} + \frac{15}{n^6} = 5 - \frac{3}{n^3} + \frac{2}{n^4} + \frac{15}{n^6} \]

итоговое выражение:

\[ \frac{3 \times \left( 1 + \frac{4}{n} \right)^6}{5 - \frac{3}{n^3} + \frac{2}{n^4} + \frac{15}{n^6}} \]

Ну и наконец снова подставляем в выражение \(\infty\)

Важно

при делении на \(\infty\) дробь всегда стремиться к 0

\[ \frac{3 \times \left( 1 + 0 \right)^6}{5 - 0 + 0 + 0} = \frac{3}{5} \]

ответ на эту задачу: \(\frac{3}{5}\)

3. Найти предел

\[ \lim_{x \to -2}{\frac{x^2 - x -6}{3x^2 - 12}} \]

4. Исследовать на непрерывность и установить типы точек разрыва функции

\[ y = \begin{cases} 3x, \quad \text{если} \space x<-5 \\ x + 1, \quad \text{если} \space x \geq -5 \end{cases} \]

Вариант 2

1. Найти \(A \cap B\)

\[ A = \{4,5,6\}, B = \{2,4,6\} \]

Решение

В данном задании нам необходиммо найти пересечение множеств, то есть результатом будет множество элемнтов которые есть как в A так и в B

\[ A \cap B = \{4,6\} \]

2. Найти предел

\[ \lim_{n \to \infty}{\frac{2(n+4)^4}{3n^4 + 2n^2 + 15}} \]

Решение

При подстановке \(\infty\) в выражение мы получаем данный результат

\[ \frac{\infty}{\infty} \]

Мы получили неопределённость, а нам нужно конкретное число. Для решения данной проблемы нам необходимо разделить и числитель и знаменатель на старшую степень \(n\)

В числителе у нас \(2(n+4)^4\), По хорошему нужно раскрыть вё по биному Ньютона, но нам достаточно знать старшую степнь \(n\), а тут в целом всё достаточно очевидно, при раскрытии мы получим макисмум \(n^4\). В знаменателе ещё проще, там ничего раскрывать не нужно и сразу видно что там тоже максимум это \(n^4\)

Теперь нам нужно разделить числитель и знаменатель на эту старшую степень n(\(n^4\)). Начнём с числителя:

\[ \frac{2(n+4)^4}{n^4} = 2 \times \frac{(n+4)^4}{n^4} = 2 \times \left( \frac{n+4}{n} \right)^4 \]

так как в результате есть дробь где и в числителе и в знаменателе есть \(n\) нам нужно и это исправить, т.к. при подстановке мы снова получим неопредённость

\[ 2 \times \left( \frac{n+4}{n} \right)^4 = 2 \times \left( \frac{n}{n} + \frac{4}{n} \right)^4 = 2 \times \left( 1 + \frac{4}{n} \right)^4 \]

Теперь переходим в знаменатель, там также делим на \(n^4\)

\[ \frac{3n^4}{n^4} + \frac{2n^2}{n^4} + \frac{15}{n^4} = 3 + \frac{2}{n^2} + \frac{15}{n^4} \]

итоговое выражение:

\[ \frac{2 \times \left( 1 + \frac{4}{n} \right)^4}{3 + \frac{2}{n^2} + \frac{15}{n^4}} \]

Ну и наконец снова подставляем в выражение \(\infty\)

Важно

при делении на \(\infty\) дробь всегда стремиться к 0

\[ \frac{2 \times \left( 1 + 0 \right)^4}{3 + 0 + 0} \]

ответ на эту задачу: \(\frac{2}{3}\)

3. Найти предел

\[ \lim_{x \to 1}{\frac{x^2 - x}{x^3 - x^2}} \]

4. Исследовать на непрерывность и установить типы точек разрыва функции

\[ y = \begin{cases} x - 5, \quad \text{если} \space x<-5 \\ x + 1, \quad \text{если} \space x \geq -5 \end{cases} \]

Комментарии